مثلث خیام

نام گذاری و تاریخچه

مثلث خیام را در برخی منابع به ندرت مثلث خیام-پاسکال-نیوتن نیز می‌گویند. این مثلث در زبان‌های گوناگون نام‌های دیگری نیز دارد در زبان انگلیسی مثلث پاسکال، ایتالیایی مثلث تارتالیا و در زبان چینی مثلث یانگ هویی نام گرفته. در آثار متون سانسکریدِ پینگالا ریاضی‌دان هندی نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود، در همان دوران عمر خیام ریاضی‌دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دو جمله‌ای می‌کند ولی متاسفانه کتاب «مشکلات الحساب» کتابی که اثبات‌های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تأثیر گرفته از او ضرایب را تا توان ۱۲ می‌توان دید. بعد از او در قرن ۱۲ میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی‌دان چینی، شکل مثلث به چشم می‌خورد. در قرن ۱۶ میلادی ریاضی‌دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی‌دان فرانسوی هم دوره با نیوتون روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.

مثلث خیام ، پاسکال

بسیاری عقیده دارند که مثلث حسابی پاسکال را باید مثلث حسابی خیام نامید و برخی پا را از این هم فراتر گذاشته اند و معتقد اند که دو جمله ای نیوتون را باید دوجمله ای خیام نامید . اندکی در این باره دقت کنیم.

همه کسانی که با جبر مقدماتی آشنایی دارند ،”دستور نیوتن” را درباره بسط دوجمله ای میشناسند. این دستور برای چند حالت خاص (وقتی n عددی درست و مثبت باشد) چنین است:

(a+b)0 = 1 (1)

(a+b)1 = a+b (1,1)

(a+b)2 = a2+2ab+b2 (1,2,1)

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (1,3,3,1)

(a+b)4 = a4+4a3b2+6a2b2+4a2b3+b4 (1,4,6,4,1)

. . . اعداد داخل پرانتزها، معرف ضریبهای عددی جمله ها در بسط دوجمله ای است.

بلیز پاسکال (Blaise Pascal) فیلسوف و ریاضی دان فرانسوی که کم وبیش با نیوتون همزمان بود، برای تنظیم ضریبهای بسط دوجمله ای، مثلثی درست کرد که امروز به “مثلث حسابی پاسکال” مشهور است. طرح این مثلث برای نخستین بار در سال ۱۶۶۵ میلادی در “رساله مربوط به مثلث حسابی “چاپ شد.مثلث حسابی چنین است:

۱

۱ ۱

۱ ۲ ۱

۱ ۳ ۳ ۱

۱ ۴ ۶ ۴

۱

۱ ۵ ۱۰ ۱۰ ۵ ۱

۱ ۶ ۱۵ ۲۰ ۱۵ ۶ ۱

دراین مثلث از سطر سوم به بعد هر عددبرابر با مجموع اعداد بالا و سمت چپ آن در سطر قبل است و بنابراین میتوان آنرا تا هر جا که للازم باشدادامه داد. هرسطر این مثلث ضریبهای بسط دوجمله ای را در یکی از حالتها بدست میدهد بطوری که n همان شماره سطر باشد. ضریبهای بسط دوجمله ای (برای توانهای درست و مثبت) حتا در سده دوم پیش از میلاد البته به صورت کم و بیش مبهم برای دانشمندان هندی روشن بوده است .باوجود این حق این است که دستور بسط دو جمله ای با نام نیوتن همراه باشد زیرا نیوتن آن را برای حالت کلی و وقتی n عددی کسری یا منفی باشد در سال ۱۶۷۶میلادی بکاربرد.که البته در این صورت به یک رشته بی پایان تبدیل میشود.اما در باره مثلث حسابی وضریبهای بسط دوجمله ای در حالت طبیعی بودن n. از جمله، دستور بسط دو جمله ای را میتوان در “کتاب حساب مخفی” میخائیل شتیفل جبردان آلمانی (که در سال ۱۵۲۴ چاپ شد) پیدا کرد.

در سال ۱۹۴۸ میلادی،پاول لیوکی آلمانی،مورخ ریاضیات،وجود دستور نیوتن را برای توانهای طبیعی ،دز کتاب “مفتاح الحساب”(۱۴۲۷ میلادی) غیاث الدین جمشید کاشانی کشف کرد. بعدها س.آ.احمدوف ،مورخ ریاضیات و اهل تاشکند، دستور نیوتون وقانون تشکیل ضریبهای بسط دوجمله ای را،در یکی از رساله های نصر الدین توسی،ریاضیدان بزرگ سده سیزدهم میلادی ،کشف کرد (این رساله توسی درباره محاسبه بحث میکند). چه جمشید کاشانی وچه نصرالدین توسی ،این قاعده را ضمن بررسی قانون های مربوط به ریشه گرفتن از عددها آورده اند. همچنین براساس آگاهی هایی که داریم حکیم عمر خیام رساله ای داشته که خود رساله تاکنون پیدا نشده ولی از نام آن “درستی شیوه های هندی در جذر وکعب “اطلاع داریم ،کهدر آن به تعمیم قانونهای هندی درباره ریشه دوم و سوم ،برای هر ریشه دلخواه پرداخته.لذا خیام از “دستور نیوتن” اطلاع داشته.

اما بنا به اسناد تاریخی معتبر قانونهای مربوط به ضریبهای بسط دوجمله ای وطرح مثلث حسابی تا سده دهم میلادی(برابر چهارم هجری) جلو میرود و به کرجی (ابوبکر محمد بن حسن حاسب کرجی ریاضیدان سده ده و یازده میلادی) پایان میپذیرد .بنابراین حتی” مثلث حسابی پاسکال” را هم از نظر تاریخی نمیتوان “مثلث حسابی خیام ” نامید.

الگویی برای یافتن سطرهای بعدی مثلث پیدا کنید و با استفاده از آن الگو سه سطر بعدی مثلث (شکل ۱) را پر کنید. سپس خانه هایی که عدد فرد دارند را در جدول رنگ بزنید.

حال بدون پیدا کردن عدد مربوط به هر خانه در سطرهای بعدی، حدس بزنید کدام خانه‌ها عدد فرد دارند و این خانه‌ها را نیز رنگ کنید! الگوی جالبی بدست خواهید آورد. به الگوی بدست آمده توجه کنید. چند عدد فرد در ۲۰ سطر اول جدول می‌توان یافت؟ چند عدد زوج؟

باقیمانده تقسیم هر عدد بر ۲، برابر پنج یا یک است. اگر به جای هر عدد زوج عدد پنج و به جای هر عدد فرد، عدد یک را در جدول زیر قرار دهید به الگویی همانند الگوی بالا خواهید رسید. (شکل ۲) فکر می‌کنید چند عدد فرد در ۱۰۰ سطر اول جدول وجود دارد؟ چه کسری از کل جدول بی انتها را اعداد فرد تشکیل می‌دهند؟چگونه می‌توان درباره این سوال در یک جدول بی انتها اظهار نظر کرد؟ باقیمانده تقسیم هرعدد بر ۳ یکی از اعداد ۰، ۱ یا ۲ است. اگر به جای هر یک از عددهای جدول، باقیمانده آن عدد بر ۳ را قرار دهیم، الگوی دیگری بدست خواهیم آورد. شما می‌توانید با سه رنگ مختلف، جدول زیر را رنگ آمیزی کنید و این الگوی جالب را بدست آورید. (شکل ۳)

چند عدد در ۱۰۰ سطر اول جدول وجود دارد که بر ۳ بخشپذیر است؟

حال جدول بی انتها را در نظر بگیرید:

چه کسری ازعددهای این جدول بر ۳ بخشپذیرند؟

باقیمانده چه کسری از عددهای این جدول بر ۳ برابر یک است؟

باقیمانده چه کسری از عددها بر ۳ برابر ۲ است؟

شاید برایتان جالب باشد که بدانید متأسفانه فرانسوی ها و بعضی از دیگر کشور های غربی از ذکر نام خیام در کنار پاسکال خودداری می کنند و مثلث خیام پاسکال را فقط با عنوان پاسکال معرفی می‌کنند .

آنها حاضر نیستندبه دانش آموزان شان  بگویند ایرانی ها و مسلمانان چقدر در تاریخ  ریاضیات و شکل گیری مفاهیم پایه نقش داشته اند . از جمله در صفحه ۴۶ فصل دوم کتاب ریاضی چهارم راهنمایی یکی از مدارس فرانسه فقط مثلث را با نام پاسکال فرانسوی آورده است و عکسی از پاسکال را هم ضمیمه کرده است !

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *