كاربرد معادلات ديفرانسيل دربيولوژي

مقدمه

معادله دیفرانسیل یک معادلهای ریاضی است و بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتقهای مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل است. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی) طبیعی‌ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می‌یابند. کاربردهای معادلات دیفرانسیل همچنین در ریاضیات، بویژه در هندسه و نیز در مهندسی و اقتصاد و بسیاری از زمینه‌های دیگر علوم فراوان‌اند.

معادلات دیفرانسیل در بسیاری پدیده‌های علوم رخ می دهند. هر زمان که یک رابطه بین چند متغیر با مقادیر مختلف در حالت‌ها یا زمان‌های مختلف وجود دارد و نرخ تغییرات متغیرها در زمان‌های مختلف یا حالات مختلف شناخته شده است میتوان آن پدیده را با معادلات دیفرانسیل بیان کرد.

به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم بوسیله سرعت و مکان آن در زمان‌های مختلف توصیف می‌شود و معادلات نیوتن به ما رابطه بین مکان و سرعت و شتاب و نیروهای گوناگون وارده بر جسم را میدهد. در چنین شرایطی می توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادله دیفرانسیل که در آن مکان ناشناخته جسم تابعی از زمان است بیان کنیم.

نظرية سيستم هاي كنترل كاربرد هاي بسيار زيادي در حوزة علوم بيولوژيكي و پزشكي داشته است. توليد تجهيزات تشخيص پزشكي، اعضاء مصنوعي و توصيف كمي سيستم هاي كنترل بيولوژيكي از جملة اين كاربردهاست. دامنة سيستم هاي كنترل مورد نظر از سطح سلولي تا سطح اعصاب مركزي و سعت دارد ازجمله شامل تنظيم دما، كنترل دستگاه تنفس و كنترل قلب است. بيشتر سيستم هاي كنترل فيزيولوژيكي حلقه بسته اند اما در اغلب اين سيستم ها بيش از يك حلقه وجود دارد بدين ترتيب كه حلقه هاي كنترلي متعدد در درون يكديگر وجود دارند. دست مصنوعي يك نمونه از كاربرد كنترل در اعضاء مصنوعي است.

    براي كنترل سيستم هاي پيچيده بايد مدل هاي كمي (رياضي) اين سيستم ها را به دست آورد. بنابراين لازم است كه رابطه بين متغيرهاي سيستم را تحليل كرده و مدل رياضي مناسب به دست آورد.از آنجا كه اغلب سيستم ها ذاتاً ديناميك مي باشند معادلات توصيف كنندة‌ اين سيستم ها عموماً معادلات ديفرانسيلي خواهند بود. با استفاده از روش تبديل لاپلاس معادلات ديفرانسيل خطي تغيير ناپذير با زمان به معادلات جبري تبديل مي شود تا تحليل و طراحي سيستم هاي كنترل كننده ساده تر شود. در عمل پيچيدگي سيستم ها و عدم آگاهي از تمام عوامل موجود لازم مي دارد كه فرض هايي در مورد عملكرد سيستم در نظر گرفته شود.

روش تبديل لاپلاس معادلات ديفرانسيلي را كه حل آنها مشكل است به معادلات جبري تبديل مي كند. تعريف تبديل لاپلاس يكطرفه به صورت زير است:

 سيستم هاي ديناميك كه عناصر سازندة سيستم هاي كنترلي هستند به طور رياضي توسط معادلات ديفرانسيل نشان داده مي شوند

اغلب سيستم هاي كنترل تحت تاثير سيگنال هاي اغتشاش بيروني قرار مي گيرند كه در نتيجه بر روي خروجي اثر نامطلوب مي گذارد. براي مثال در سيستم كنترل جهت يك آنتن ماهواره اي وزش باد ، اغتشاش ناخواسته است. نويزي كه در اكثر سيستم هاي كنترلي حلقه بسته به وجود    مي آيد نويز ايجاد شده توسط سنسور اندازه گيري است. سيستم هاي حلقه بسته اين قابليت مهم را دارند كه اثر اغتشاش و عوامل ناخواستة بيروني را كاهش دهند.معادلاتي نيزكه دراين محاسبات به كار مي روند معادلات ديفرانسيل هستند.

Description: 9999999999999999.jpg

معادلات دیفرانسیل تصادفی از این نوع کاربردهای وسیع در علوم زیست شناسی، جامعه شناسی، اقتصاد مدارهای الکتریکی، فعالیت های ماهواره ای و . . . دارد در این جا ما مدل ریاضی مربوطه به تشکیل جلبک های کنار حوضچه ها و آب های راکد را که برای اولین بار توسط برتا و کانگ مطزح شد، را در نظر می گیریم . سیستم های فیزیکی اغلب به وسیله معادله دیفرانسیل معمولیODE مدل سازي مي شوندهرچند بسياري از مدل ها به صورت مطلوبی نمایش داده می شوند، ولی در بسیاری از موارد به علت ناديده گرفته شدن اثرات تصادفی، مدل دقیق و در نتیجه جواب دقیقی به دست نمی آید، در سال های اخیر مدل سازي رياضي مربوط به حوادث طبیعی و فیزیکی با وجود عامل تصادفی به دلیل کاربرد وسیع آن مور د توجه قرار گرفته است، قسمت عمده ای از این مدل ها در قالب فرآیند تصادفی می باشد . یکی از مهمترین فرآیندهای تصادفی، فرآیند وینر است. یکی ازاهداف مهم پژوهشگران در تحقیقات و مطالعات زیست شناسی ، ارایه مدل ریاضی مناسب برای پدیده های طبیعی است که در روی کره زمین رخ می دهد . یکی از این پدیده ها، فرآیند رشد جلبک ها در کنار حوضچه ها و آب های راکد می باشد که به شدت مورد توجه زیست شناسان قرار گرفته است. برای اولین بار برتا و کانگ در ۱۹۹۸ یک مدل ریاضی برای این موضوع ارایه دادند مدل ارایه شده توسط آن ها به شکل یک دستگاه معادله دیفرانسیل معمولی به فرم زیر می باشد. آن ها فرض کردندS تعداد باکتری های سالم Iتعداد باکتری های بیمار و Pتعداد باکتری خوار باشند:

منابع

دانشنامه ويكي پديا

اثرات جايگشت نوفه هاي سفيد ومخلوط در حل عددي معادله ديفرانسيل تصادفي مربوط به مدل زيست رياضي،رضايين،رمضان،فرنوش رحمان،ياري غلامحسين،مجله رياضيات كاربردي واحد لاهيجان سال ششم شماره ۲۳ زمستان۱۳۸۸ ص۲۸-۱۹

www.kh110.ir

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *